Resolver {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+y=15$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-y+15$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Substitúe x por \frac{-y+15}{4} na outra ecuación, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

Multiplica 19 por \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

Suma -\frac{19y}{4} a 5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

Resta \frac{285}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$y=-165$$

Substitúe y por -165 en x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Suma \frac{15}{4} a \frac{165}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=45$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=45,y=-165$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=45,y=-165$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Para que 4x e 19x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 19 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Simplifica.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

Resta 76x+20y=120 de 76x+19y=285 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

Suma 76x a -76x. 76x e -76x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$19y-20y=285-120$$

Suma 19y a -20y.

$$-y=285-120$$

Suma 285 a -120.

$$-y=165$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-165$$

Substitúe y por -165 en 19x+5y=30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

Multiplica 5 por -165.

$$19x-825=30$$

Suma 825 en ambos lados da ecuación.

$$19x=855$$

Divide ambos lados entre 19.

$$x=45$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=45,y=-165$$