Resolver {l}{4x+y=100}{2x+2y=56}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=24$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+y=100$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-y+100$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -y+100.

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

Substitúe x por -\frac{y}{4}+25 na outra ecuación, 2x+2y=56.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

Multiplica 2 por -\frac{y}{4}+25.

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

Suma -\frac{y}{2} a 2y.

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

Resta 50 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}y=6$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-\frac{1}{4}y+25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

Multiplica -\frac{1}{4} por 4.

$$x=-1+25$$

Suma 25 a -1.

$$x=24$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=24,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=24,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

Simplifica.

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

Resta 8x+8y=224 de 8x+2y=200 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-8y=200-224$$

Suma 2y a -8y.

$$-6y=200-224$$

Suma 200 a -224.

$$-6y=-24$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 2x+2y=56. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2\times 4=56$$

Multiplica 2 por 4.

$$2x+8=56$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$2x=48$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=24$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=24,y=4$$