Resolver {l}{4x+9y=28}{-4x-y=-28}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 28 } \\ { - 4 x - y = - 28 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+9y=28$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-9y+28$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+28\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -9y+28.

$$x=-\frac{9}{4}y+7$$

Substitúe x por -\frac{9y}{4}+7 na outra ecuación, -4x-y=-28.

$$-4\left(-\frac{9}{4}y+7\right)-y=-28$$

Multiplica -4 por -\frac{9y}{4}+7.

$$9y-28-y=-28$$

Suma 9y a -y.

$$8y-28=-28$$

Suma 28 en ambos lados da ecuación.

$$8y=0$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{9}{4}y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}\times 28-\frac{9}{32}\left(-28\right)\\\frac{1}{8}\times 28+\frac{1}{8}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Para que 4x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-4\times 4x-4\times 9y=-4\times 28,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-28\right)$$

Simplifica.

$$-16x-36y=-112,-16x-4y=-112$$

Resta -16x-4y=-112 de -16x-36y=-112 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-16x+16x-36y+4y=-112+112$$

Suma -16x a 16x. -16x e 16x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-36y+4y=-112+112$$

Suma -36y a 4y.

$$-32y=-112+112$$

Suma -112 a 112.

$$-32y=0$$

Divide ambos lados entre -32.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en -4x-y=-28. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x=-28$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=0$$