Resolver {l}{4x+9y=-21}{3x+4y=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 21 } \\ { 3 x + 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+9y=-21$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-9y-21$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-21\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -9y-21.

$$x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}$$

Substitúe x por \frac{-9y-21}{4} na outra ecuación, 3x+4y=-13.

$$3\left(-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}\right)+4y=-13$$

Multiplica 3 por \frac{-9y-21}{4}.

$$-\frac{27}{4}y-\frac{63}{4}+4y=-13$$

Suma -\frac{27y}{4} a 4y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{63}{4}=-13$$

Suma \frac{63}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-1\right)-\frac{21}{4}$$

Multiplica -\frac{9}{4} por -1.

$$x=\frac{9-21}{4}$$

Suma -\frac{21}{4} a \frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 4-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-9\times 3}&\frac{4}{4\times 4-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-21\right)+\frac{9}{11}\left(-13\right)\\\frac{3}{11}\left(-21\right)-\frac{4}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\left(-21\right),4\times 3x+4\times 4y=4\left(-13\right)$$

Simplifica.

$$12x+27y=-63,12x+16y=-52$$

Resta 12x+16y=-52 de 12x+27y=-63 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+27y-16y=-63+52$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$27y-16y=-63+52$$

Suma 27y a -16y.

$$11y=-63+52$$

Suma -63 a 52.

$$11y=-11$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 3x+4y=-13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\left(-1\right)=-13$$

Multiplica 4 por -1.

$$3x-4=-13$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-1$$