Resolver {l}{4x+9y=-16}{10x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 16 } \\ { 10 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+9y=-16$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-9y-16$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-16\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -9y-16.

$$x=-\frac{9}{4}y-4$$

Substitúe x por -\frac{9y}{4}-4 na outra ecuación, 10x+6y=26.

$$10\left(-\frac{9}{4}y-4\right)+6y=26$$

Multiplica 10 por -\frac{9y}{4}-4.

$$-\frac{45}{2}y-40+6y=26$$

Suma -\frac{45y}{2} a 6y.

$$-\frac{33}{2}y-40=26$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{33}{2}y=66$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{33}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{9}{4}y-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-4\right)-4$$

Multiplica -\frac{9}{4} por -4.

$$x=9-4$$

Suma -4 a 9.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-9\times 10}&-\frac{9}{4\times 6-9\times 10}\\-\frac{10}{4\times 6-9\times 10}&\frac{4}{4\times 6-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\left(-16\right)+\frac{3}{22}\times 26\\\frac{5}{33}\left(-16\right)-\frac{2}{33}\times 26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Para que 4x e 10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$10\times 4x+10\times 9y=10\left(-16\right),4\times 10x+4\times 6y=4\times 26$$

Simplifica.

$$40x+90y=-160,40x+24y=104$$

Resta 40x+24y=104 de 40x+90y=-160 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$40x-40x+90y-24y=-160-104$$

Suma 40x a -40x. 40x e -40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$90y-24y=-160-104$$

Suma 90y a -24y.

$$66y=-160-104$$

Suma -160 a -104.

$$66y=-264$$

Divide ambos lados entre 66.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 10x+6y=26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$10x+6\left(-4\right)=26$$

Multiplica 6 por -4.

$$10x-24=26$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$10x=50$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-4$$