Resolver {l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+7y=2$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-7y+2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -7y+2.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} na outra ecuación, 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

Multiplica 5 por -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

Suma -\frac{35y}{4} a 6y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Substitúe y por -\frac{6}{11} en x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{7}{4} por -\frac{6}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{21}{22} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{16}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Para que 4x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

Simplifica.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

Resta 20x+24y=16 de 20x+35y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$35y-24y=10-16$$

Suma 35y a -24y.

$$11y=10-16$$

Suma 10 a -16.

$$11y=-6$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Substitúe y por -\frac{6}{11} en 5x+6y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

Multiplica 6 por -\frac{6}{11}.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

Suma \frac{36}{11} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{80}{11}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{16}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$