Resolver {l}{4x+6y=0}{x-5y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 0 } \\ { x - 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{6}{13}\approx -0.461538462$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+6y=0$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-6y$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)y$$

Multiplica \frac{1}{4} por -6y.

$$x=-\frac{3}{2}y$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2} na outra ecuación, x-5y=-2.

$$-\frac{3}{2}y-5y=-2$$

Suma -\frac{3y}{2} a -5y.

$$-\frac{13}{2}y=-2$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{4}{13}$$

Substitúe y por \frac{4}{13} en x=-\frac{3}{2}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{13}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{4}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{6}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-6}&-\frac{6}{4\left(-5\right)-6}\\-\frac{1}{4\left(-5\right)-6}&\frac{4}{4\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&\frac{3}{13}\\\frac{1}{26}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\left(-2\right)\\-\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x+6y=0,4x+4\left(-5\right)y=4\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$4x+6y=0,4x-20y=-8$$

Resta 4x-20y=-8 de 4x+6y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+6y+20y=8$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+20y=8$$

Suma 6y a 20y.

$$26y=8$$

Divide ambos lados entre 26.

$$y=\frac{4}{13}$$

Substitúe y por \frac{4}{13} en x-5y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-5\times \frac{4}{13}=-2$$

Multiplica -5 por \frac{4}{13}.

$$x-\frac{20}{13}=-2$$

Suma \frac{20}{13} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{6}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$