Resolver {l}{4x+5y=3}{2x-3y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 3 } \\ { 2 x - 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{29}{22} = 1\frac{7}{22} \approx 1.318181818$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+5y=3$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-5y+3$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5y+3.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}$$

Substitúe x por \frac{-5y+3}{4} na outra ecuación, 2x-3y=4.

$$2\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=4$$

Multiplica 2 por \frac{-5y+3}{4}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}-3y=4$$

Suma -\frac{5y}{2} a -3y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Substitúe y por -\frac{5}{11} en x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{4}$$

Multiplica -\frac{5}{4} por -\frac{5}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{25}{44}+\frac{3}{4}$$

Suma \frac{3}{4} a \frac{25}{44} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{29}{22}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 3+\frac{5}{22}\times 4\\\frac{1}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4x+2\times 5y=2\times 3,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4$$

Simplifica.

$$8x+10y=6,8x-12y=16$$

Resta 8x-12y=16 de 8x+10y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+10y+12y=6-16$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+12y=6-16$$

Suma 10y a 12y.

$$22y=6-16$$

Suma 6 a -16.

$$22y=-10$$

Divide ambos lados entre 22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Substitúe y por -\frac{5}{11} en 2x-3y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\left(-\frac{5}{11}\right)=4$$

Multiplica -3 por -\frac{5}{11}.

$$2x+\frac{15}{11}=4$$

Resta \frac{15}{11} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{29}{11}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{29}{22}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$