Resolver {l}{4x+5y=10}{3x-3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 10 } \\ { 3 x - 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+5y=10,3x-3y=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+5y=10$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-5y+10$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5y+10.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por -\frac{5y}{4}+\frac{5}{2} na outra ecuación, 3x-3y=21.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}\right)-3y=21$$

Multiplica 3 por -\frac{5y}{4}+\frac{5}{2}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-3y=21$$

Suma -\frac{15y}{4} a -3y.

$$-\frac{27}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{27}{4}y=\frac{27}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{27}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{4} por -2.

$$x=\frac{5+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a \frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+5y=10,3x-3y=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-3\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 10+\frac{5}{27}\times 21\\\frac{1}{9}\times 10-\frac{4}{27}\times 21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+5y=10,3x-3y=21$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 10,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 21$$

Simplifica.

$$12x+15y=30,12x-12y=84$$

Resta 12x-12y=84 de 12x+15y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+15y+12y=30-84$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y+12y=30-84$$

Suma 15y a 12y.

$$27y=30-84$$

Suma 30 a -84.

$$27y=-54$$

Divide ambos lados entre 27.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 3x-3y=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-3\left(-2\right)=21$$

Multiplica -3 por -2.

$$3x+6=21$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$3x=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-2$$