Resolver {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+5y=1$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-5y+1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5y+1.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{-5y+1}{4} na outra ecuación, 5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

Multiplica 5 por \frac{-5y+1}{4}.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

Suma -\frac{25y}{4} a -7y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

Resta \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{53}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1}{53}$$

Substitúe y por \frac{1}{53} en x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

Multiplica -\frac{5}{4} por \frac{1}{53} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

Suma \frac{1}{4} a -\frac{5}{212} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{12}{53}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Para que 4x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

Simplifica.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

Resta 20x-28y=4 de 20x+25y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$25y+28y=5-4$$

Suma 25y a 28y.

$$53y=5-4$$

Suma 5 a -4.

$$53y=1$$

Divide ambos lados entre 53.

$$y=\frac{1}{53}$$

Substitúe y por \frac{1}{53} en 5x-7y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

Multiplica -7 por \frac{1}{53}.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

Suma \frac{7}{53} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{60}{53}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{12}{53}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$