Resolver {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+5y=0$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-5y$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5y.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

Substitúe x por -\frac{5y}{4} na outra ecuación, 8x-15y=-5.

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

Multiplica 8 por -\frac{5y}{4}.

$$-10y-15y=-5$$

Suma -10y a -15y.

$$-25y=-5$$

Divide ambos lados entre -25.

$$y=\frac{1}{5}$$

Substitúe y por \frac{1}{5} en x=-\frac{5}{4}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

Multiplica -\frac{5}{4} por \frac{1}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Para que 4x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

Resta 32x-60y=-20 de 32x+40y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

Suma 32x a -32x. 32x e -32x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40y+60y=20$$

Suma 40y a 60y.

$$100y=20$$

Divide ambos lados entre 100.

$$y=\frac{1}{5}$$

Substitúe y por \frac{1}{5} en 8x-15y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

Multiplica -15 por \frac{1}{5}.

$$8x-3=-5$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$8x=-2$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$