Resolver {l}{4x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=18$$

$$y=52$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+4y=280$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-4y+280$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y+280\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -4y+280.

$$x=-y+70$$

Substitúe x por -y+70 na outra ecuación, 4x+y=124.

$$4\left(-y+70\right)+y=124$$

Multiplica 4 por -y+70.

$$-4y+280+y=124$$

Suma -4y a y.

$$-3y+280=124$$

Resta 280 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-156$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=52$$

Substitúe y por 52 en x=-y+70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-52+70$$

Suma 70 a -52.

$$x=18$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=18,y=52$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\times 4}&-\frac{4}{4-4\times 4}\\-\frac{4}{4-4\times 4}&\frac{4}{4-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 280+\frac{1}{3}\times 124\\\frac{1}{3}\times 280-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=18,y=52$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Resta 4x+y=124 de 4x+4y=280 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+4y-y=280-124$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-y=280-124$$

Suma 4y a -y.

$$3y=280-124$$

Suma 280 a -124.

$$3y=156$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=52$$

Substitúe y por 52 en 4x+y=124. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+52=124$$

Resta 52 en ambos lados da ecuación.

$$4x=72$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=18$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=18,y=52$$