Resolver {l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x-3y=-28$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=25$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y+25$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y+25.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y+25}{4} na outra ecuación, 2x-3y=-28.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

Multiplica 2 por \frac{-3y+25}{4}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

Suma -\frac{3y}{2} a -3y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

Resta \frac{25}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por 9.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

Suma \frac{25}{4} a -\frac{27}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x-3y=-28$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x-3y=-28$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

Simplifica.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

Resta 8x-12y=-112 de 8x+6y=50 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+12y=50+112$$

Suma 6y a 12y.

$$18y=50+112$$

Suma 50 a 112.

$$18y=162$$

Divide ambos lados entre 18.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en 2x-3y=-28. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\times 9=-28$$

Multiplica -3 por 9.

$$2x-27=-28$$

Suma 27 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$