Resolver {l}{4x+3y=13}{3x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=13$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y+13$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y+13}{4} na outra ecuación, 3x+6y=26.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}\right)+6y=26$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+13}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{4}+6y=26$$

Suma -\frac{9y}{4} a 6y.

$$\frac{15}{4}y+\frac{39}{4}=26$$

Resta \frac{39}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{15}{4}y=\frac{65}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{15}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{13}{3}$$

Substitúe y por \frac{13}{3} en x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{13}{3}+\frac{13}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por \frac{13}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{-13+13}{4}$$

Suma \frac{13}{4} a -\frac{13}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}&\frac{4}{4\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 13-\frac{1}{5}\times 26\\-\frac{1}{5}\times 13+\frac{4}{15}\times 26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 13,4\times 3x+4\times 6y=4\times 26$$

Simplifica.

$$12x+9y=39,12x+24y=104$$

Resta 12x+24y=104 de 12x+9y=39 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+9y-24y=39-104$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-24y=39-104$$

Suma 9y a -24y.

$$-15y=39-104$$

Suma 39 a -104.

$$-15y=-65$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=\frac{13}{3}$$

Substitúe y por \frac{13}{3} en 3x+6y=26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+6\times \frac{13}{3}=26$$

Multiplica 6 por \frac{13}{3}.

$$3x+26=26$$

Resta 26 en ambos lados da ecuación.

$$3x=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$