Resolver {l}{4x+3y=0}{3y+3x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 0 } \\ { 3 y + 3 x = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=0$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Substitúe x por -\frac{3y}{4} na outra ecuación, 3x+3y=1.

$$3\left(-\frac{3}{4}\right)y+3y=1$$

Multiplica 3 por -\frac{3y}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+3y=1$$

Suma -\frac{9y}{4} a 3y.

$$\frac{3}{4}y=1$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{4}{3}$$

Substitúe y por \frac{4}{3} en x=-\frac{3}{4}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por \frac{4}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

Resta 3x+3y=1 de 4x+3y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-3x+3y-3y=-1$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-3x=-1$$

Suma 4x a -3x.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en 3x+3y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3\left(-1\right)+3y=1$$

Multiplica 3 por -1.

$$-3+3y=1$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$3y=4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$