Resolver {l}{4x+2y=6}{5x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 5 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{18}{11} = 1\frac{7}{11} \approx 1.636363636$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=6$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y+6$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+3}{2} na outra ecuación, 5x-3y=9.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-3y=9$$

Multiplica 5 por \frac{-y+3}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}-3y=9$$

Suma -\frac{5y}{2} a -3y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Substitúe y por -\frac{3}{11} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -\frac{3}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{22}+\frac{3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a \frac{3}{22} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{18}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-2\times 5}&-\frac{2}{4\left(-3\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-3\right)-2\times 5}&\frac{4}{4\left(-3\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 6+\frac{1}{11}\times 9\\\frac{5}{22}\times 6-\frac{2}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}\\-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

Para que 4x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$5\times 4x+5\times 2y=5\times 6,4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 9$$

Simplifica.

$$20x+10y=30,20x-12y=36$$

Resta 20x-12y=36 de 20x+10y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+10y+12y=30-36$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+12y=30-36$$

Suma 10y a 12y.

$$22y=30-36$$

Suma 30 a -36.

$$22y=-6$$

Divide ambos lados entre 22.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Substitúe y por -\frac{3}{11} en 5x-3y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-3\left(-\frac{3}{11}\right)=9$$

Multiplica -3 por -\frac{3}{11}.

$$5x+\frac{9}{11}=9$$

Resta \frac{9}{11} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{90}{11}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{18}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$