Resolver {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=-9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=18$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y+18$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+9}{2} na outra ecuación, -3x-6y=27.

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

Multiplica -3 por \frac{-y+9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

Suma \frac{3y}{2} a -6y.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

Suma \frac{27}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -9.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a \frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=-9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Para que 4x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

Simplifica.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

Resta -12x-24y=108 de -12x-6y=-54 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

Suma -12x a 12x. -12x e 12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+24y=-54-108$$

Suma -6y a 24y.

$$18y=-54-108$$

Suma -54 a -108.

$$18y=-162$$

Divide ambos lados entre 18.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en -3x-6y=27. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

Multiplica -6 por -9.

$$-3x+54=27$$

Resta 54 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-27$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-9$$