Resolver {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=12$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y+12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+3 na outra ecuación, 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

Multiplica 7 por -\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

Suma -\frac{7y}{2} a 18y.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{29}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Substitúe y por -\frac{4}{29} en x=-\frac{1}{2}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -\frac{4}{29} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

Suma 3 a \frac{2}{29}.

$$x=\frac{89}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Para que 4x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

Simplifica.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

Resta 28x+72y=76 de 28x+14y=84 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

Suma 28x a -28x. 28x e -28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$14y-72y=84-76$$

Suma 14y a -72y.

$$-58y=84-76$$

Suma 84 a -76.

$$-58y=8$$

Divide ambos lados entre -58.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Substitúe y por -\frac{4}{29} en 7x+18y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

Multiplica 18 por -\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

Suma \frac{72}{29} en ambos lados da ecuación.

$$7x=\frac{623}{29}$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{89}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$