Resolver {l}{4b+4c=-5}{4b+5c=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 b + 4 c = - 5 } \\ { 4 b + 5 c = - 6 } \end{array} \right.$$

Resolver b, c

$$b=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$c=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a b mediante o illamento de b no lado esquerdo do signo igual.

$$4b+4c=-5$$

Resta 4c en ambos lados da ecuación.

$$4b=-4c-5$$

Divide ambos lados entre 4.

$$b=\frac{1}{4}\left(-4c-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -4c-5.

$$b=-c-\frac{5}{4}$$

Substitúe b por -c-\frac{5}{4} na outra ecuación, 4b+5c=-6.

$$4\left(-c-\frac{5}{4}\right)+5c=-6$$

Multiplica 4 por -c-\frac{5}{4}.

$$-4c-5+5c=-6$$

Suma -4c a 5c.

$$c-5=-6$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$c=-1$$

Substitúe c por -1 en b=-c-\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$b=-\left(-1\right)-\frac{5}{4}$$

Multiplica -1 por -1.

$$b=1-\frac{5}{4}$$

Suma -\frac{5}{4} a 1.

$$b=-\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-4\times 4}&-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}&\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\left(-5\right)-\left(-6\right)\\-\left(-5\right)-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz b e c.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Resta 4b+5c=-6 de 4b+4c=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4b-4b+4c-5c=-5+6$$

Suma 4b a -4b. 4b e -4b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4c-5c=-5+6$$

Suma 4c a -5c.

$$-c=-5+6$$

Suma -5 a 6.

$$-c=1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$c=-1$$

Substitúe c por -1 en 4b+5c=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$4b+5\left(-1\right)=-6$$

Multiplica 5 por -1.

$$4b-5=-6$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$4b=-1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$b=-\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$