Resolver {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a_{1} mediante o illamento de a_{1} no lado esquerdo do signo igual.

$$4a_{1}+6d=3$$

Resta 6d en ambos lados da ecuación.

$$4a_{1}=-6d+3$$

Divide ambos lados entre 4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Substitúe a_{1} por -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} na outra ecuación, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

Multiplica 3 por -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Suma -\frac{9d}{2} a 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Resta \frac{9}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{33}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$d=\frac{7}{66}$$

Substitúe d por \frac{7}{66} en a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a_{1} directamente.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{7}{66} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Suma \frac{3}{4} a -\frac{7}{44} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a_{1} e d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Para que 4a_{1} e 3a_{1} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Simplifica.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Resta 12a_{1}+84d=16 de 12a_{1}+18d=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Suma 12a_{1} a -12a_{1}. 12a_{1} e -12a_{1} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$18d-84d=9-16$$

Suma 18d a -84d.

$$-66d=9-16$$

Suma 9 a -16.

$$-66d=-7$$

Divide ambos lados entre -66.

$$d=\frac{7}{66}$$

Substitúe d por \frac{7}{66} en 3a_{1}+21d=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a_{1} directamente.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

Multiplica 21 por \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Resta \frac{49}{22} en ambos lados da ecuación.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$