Resolver {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$4a+5b=9$$

Resta 5b en ambos lados da ecuación.

$$4a=-5b+9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5b+9.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

Substitúe a por \frac{-5b+9}{4} na outra ecuación, 2a-b=7.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

Multiplica 2 por \frac{-5b+9}{4}.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

Suma -\frac{5b}{2} a -b.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Substitúe b por -\frac{5}{7} en a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

Multiplica -\frac{5}{4} por -\frac{5}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

Suma \frac{9}{4} a \frac{25}{28} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{22}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Para que 4a e 2a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

Simplifica.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

Resta 8a-4b=28 de 8a+10b=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

Suma 8a a -8a. 8a e -8a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10b+4b=18-28$$

Suma 10b a 4b.

$$14b=18-28$$

Suma 18 a -28.

$$14b=-10$$

Divide ambos lados entre 14.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Substitúe b por -\frac{5}{7} en 2a-b=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

Resta \frac{5}{7} en ambos lados da ecuación.

$$2a=\frac{44}{7}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{22}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$