Resolver {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

Resolver A, D

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3A-9D=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$8A-8D=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a A mediante o illamento de A no lado esquerdo do signo igual.

$$3A-9D=4$$

Suma 9D en ambos lados da ecuación.

$$3A=9D+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 9D+4.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

Substitúe A por 3D+\frac{4}{3} na outra ecuación, 8A-8D=2.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

Multiplica 8 por 3D+\frac{4}{3}.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

Suma 24D a -8D.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

Resta \frac{32}{3} en ambos lados da ecuación.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

Divide ambos lados entre 16.

$$D=-\frac{13}{24}$$

Substitúe D por -\frac{13}{24} en A=3D+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

Multiplica 3 por -\frac{13}{24}.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a -\frac{13}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$A=-\frac{7}{24}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3A-9D=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$8A-8D=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz A e D.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3A-9D=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$8A-8D=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Para que 3A e 8A sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

Simplifica.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

Resta 24A-24D=6 de 24A-72D=32 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

Suma 24A a -24A. 24A e -24A anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-72D+24D=32-6$$

Suma -72D a 24D.

$$-48D=32-6$$

Suma 32 a -6.

$$-48D=26$$

Divide ambos lados entre -48.

$$D=-\frac{13}{24}$$

Substitúe D por -\frac{13}{24} en 8A-8D=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

Multiplica -8 por -\frac{13}{24}.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

Resta \frac{13}{3} en ambos lados da ecuación.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

Divide ambos lados entre 8.

$$A=-\frac{7}{24}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$