Resolver {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$36x-5y=7$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$36x=5y+7$$

Divide ambos lados entre 36.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{36} por 5y+7.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

Substitúe x por \frac{5y+7}{36} na outra ecuación, 6x+3y=8.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

Multiplica 6 por \frac{5y+7}{36}.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

Suma \frac{5y}{6} a 3y.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

Resta \frac{7}{6} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{41}{23}$$

Substitúe y por \frac{41}{23} en x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

Multiplica \frac{5}{36} por \frac{41}{23} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

Suma \frac{7}{36} a \frac{205}{828} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{61}{138}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Para que 36x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 36.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

Simplifica.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

Resta 216x+108y=288 de 216x-30y=42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

Suma 216x a -216x. 216x e -216x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-30y-108y=42-288$$

Suma -30y a -108y.

$$-138y=42-288$$

Suma 42 a -288.

$$-138y=-246$$

Divide ambos lados entre -138.

$$y=\frac{41}{23}$$

Substitúe y por \frac{41}{23} en 6x+3y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

Multiplica 3 por \frac{41}{23}.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

Resta \frac{123}{23} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{61}{23}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{61}{138}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$