Resolver {l}{342=23m+b}{147=10m+b}

$$\left. \begin{array} { l } { 342 = 23 m + b } \\ { 147 = 10 m + b } \end{array} \right.$$

Resolver m, b

$$m=15$$

$$b=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$23m+b=342$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$10m+b=147$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$23m+b=342$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$23m=-b+342$$

Divide ambos lados entre 23.

$$m=\frac{1}{23}\left(-b+342\right)$$

Multiplica \frac{1}{23} por -b+342.

$$m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}$$

Substitúe m por \frac{-b+342}{23} na outra ecuación, 10m+b=147.

$$10\left(-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}\right)+b=147$$

Multiplica 10 por \frac{-b+342}{23}.

$$-\frac{10}{23}b+\frac{3420}{23}+b=147$$

Suma -\frac{10b}{23} a b.

$$\frac{13}{23}b+\frac{3420}{23}=147$$

Resta \frac{3420}{23} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{23}b=-\frac{39}{23}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{23}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-3$$

Substitúe b por -3 en m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{1}{23}\left(-3\right)+\frac{342}{23}$$

Multiplica -\frac{1}{23} por -3.

$$m=\frac{3+342}{23}$$

Suma \frac{342}{23} a \frac{3}{23} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=15,b=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$23m+b=342$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$10m+b=147$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23-10}&-\frac{1}{23-10}\\-\frac{10}{23-10}&\frac{23}{23-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{10}{13}&\frac{23}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 342-\frac{1}{13}\times 147\\-\frac{10}{13}\times 342+\frac{23}{13}\times 147\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e b.

$$m=15,b=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$23m+b=342$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$10m+b=147$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Resta 10m+b=147 de 23m+b=342 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$23m-10m+b-b=342-147$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$23m-10m=342-147$$

Suma 23m a -10m.

$$13m=342-147$$

Suma 342 a -147.

$$13m=195$$

Divide ambos lados entre 13.

$$m=15$$

Substitúe m por 15 en 10m+b=147. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$10\times 15+b=147$$

Multiplica 10 por 15.

$$150+b=147$$

Resta 150 en ambos lados da ecuación.

$$b=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=15,b=-3$$