Resolver {l}{32x+277+5y=0}{-4x-54y+4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 32 x + 277 + 5 y = 0 } \\ { - 4 x - 54 y + 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{7489}{854} = -8\frac{657}{854} \approx -8.769320843$$

$$y=\frac{309}{427}\approx 0.723653396$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$32x+5y+277=0$$

Resta 277 en ambos lados da ecuación.

$$32x+5y=-277$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$32x=-5y-277$$

Divide ambos lados entre 32.

$$x=\frac{1}{32}\left(-5y-277\right)$$

Multiplica \frac{1}{32} por -5y-277.

$$x=-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32}$$

Substitúe x por \frac{-5y-277}{32} na outra ecuación, -4x-54y+4=0.

$$-4\left(-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32}\right)-54y+4=0$$

Multiplica -4 por \frac{-5y-277}{32}.

$$\frac{5}{8}y+\frac{277}{8}-54y+4=0$$

Suma \frac{5y}{8} a -54y.

$$-\frac{427}{8}y+\frac{277}{8}+4=0$$

Suma \frac{277}{8} a 4.

$$-\frac{427}{8}y+\frac{309}{8}=0$$

Resta \frac{309}{8} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{427}{8}y=-\frac{309}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{427}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{309}{427}$$

Substitúe y por \frac{309}{427} en x=-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{32}\times \frac{309}{427}-\frac{277}{32}$$

Multiplica -\frac{5}{32} por \frac{309}{427} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1545}{13664}-\frac{277}{32}$$

Suma -\frac{277}{32} a -\frac{1545}{13664} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{7489}{854}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{54}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}&\frac{32}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{854}&\frac{5}{1708}\\-\frac{1}{427}&-\frac{8}{427}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{854}\left(-277\right)+\frac{5}{1708}\left(-4\right)\\-\frac{1}{427}\left(-277\right)-\frac{8}{427}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7489}{854}\\\frac{309}{427}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

Para que 32x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 32.

$$-4\times 32x-4\times 5y-4\times 277=0,32\left(-4\right)x+32\left(-54\right)y+32\times 4=0$$

Simplifica.

$$-128x-20y-1108=0,-128x-1728y+128=0$$

Resta -128x-1728y+128=0 de -128x-20y-1108=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-128x+128x-20y+1728y-1108-128=0$$

Suma -128x a 128x. -128x e 128x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20y+1728y-1108-128=0$$

Suma -20y a 1728y.

$$1708y-1108-128=0$$

Suma -1108 a -128.

$$1708y-1236=0$$

Suma 1236 en ambos lados da ecuación.

$$1708y=1236$$

Divide ambos lados entre 1708.

$$y=\frac{309}{427}$$

Substitúe y por \frac{309}{427} en -4x-54y+4=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x-54\times \frac{309}{427}+4=0$$

Multiplica -54 por \frac{309}{427}.

$$-4x-\frac{16686}{427}+4=0$$

Suma -\frac{16686}{427} a 4.

$$-4x-\frac{14978}{427}=0$$

Suma \frac{14978}{427} en ambos lados da ecuación.

$$-4x=\frac{14978}{427}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{7489}{854}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$