Resolver {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=39$$

$$y=15$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$3y-6-x=0$$

Engadir 6 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3y-x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-9-2y=0$$

Engadir 9 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-2y=9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$3y-x=6$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$3y=x+6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por x+6.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

Substitúe y por \frac{x}{3}+2 na outra ecuación, -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

Multiplica -2 por \frac{x}{3}+2.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

Suma -\frac{2x}{3} a x.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}x=13$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$x=39$$

Substitúe x por 39 en y=\frac{1}{3}x+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

Multiplica \frac{1}{3} por 39.

$$y=13+2$$

Suma 2 a 13.

$$y=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=15,x=39$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$3y-6-x=0$$

Engadir 6 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3y-x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-9-2y=0$$

Engadir 9 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-2y=9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=15,x=39$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$3y-6-x=0$$

Engadir 6 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3y-x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-9-2y=0$$

Engadir 9 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-2y=9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Para que 3y e -2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

Simplifica.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

Resta -6y+3x=27 de -6y+2x=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

Suma -6y a 6y. -6y e 6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-3x=-12-27$$

Suma 2x a -3x.

$$-x=-12-27$$

Suma -12 a -27.

$$-x=-39$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=39$$

Substitúe x por 39 en -2y+x=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-2y+39=9$$

Resta 39 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-30$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=15,x=39$$