Resolver {l}{3y=6x-3}{2x=7-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 6 x - 3 } \\ { 2 x = 7 - y } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$3y-6x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$2x+y=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$3y-6x=-3$$

Suma 6x en ambos lados da ecuación.

$$3y=6x-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 6x-3.

$$y=2x-1$$

Substitúe y por 2x-1 na outra ecuación, y+2x=7.

$$2x-1+2x=7$$

Suma 2x a 2x.

$$4x-1=7$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$4x=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=2x-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\times 2-1$$

Multiplica 2 por 2.

$$y=4-1$$

Suma -1 a 4.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$3y-6x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$2x+y=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=3,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$3y-6x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$2x+y=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Para que 3y e y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7$$

Simplifica.

$$3y-6x=-3,3y+6x=21$$

Resta 3y+6x=21 de 3y-6x=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3y-3y-6x-6x=-3-21$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6x-6x=-3-21$$

Suma -6x a -6x.

$$-12x=-3-21$$

Suma -3 a -21.

$$-12x=-24$$

Divide ambos lados entre -12.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y+2x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+2\times 2=7$$

Multiplica 2 por 2.

$$y+4=7$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=2$$