Resolver {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$3y+x=31$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$3y=-x+31$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

Substitúe y por \frac{-x+31}{3} na outra ecuación, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

Multiplica 2 por \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

Suma -\frac{2x}{3} a 3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

Resta \frac{62}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Suma \frac{31}{3} a -\frac{10}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=7,x=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=7,x=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Para que 3y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Simplifica.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

Resta 6y+9x=132 de 6y+2x=62 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

Suma 6y a -6y. 6y e -6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-9x=62-132$$

Suma 2x a -9x.

$$-7x=62-132$$

Suma 62 a -132.

$$-7x=-70$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en 2y+3x=44. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+3\times 10=44$$

Multiplica 3 por 10.

$$2y+30=44$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$2y=14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=7,x=10$$