Resolver {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=75$$

$$y=-25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$3y+2x=75$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$3y=-2x+75$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2x+75.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

Substitúe y por -\frac{2x}{3}+25 na outra ecuación, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

Suma -\frac{2x}{3} a x.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

Resta 25 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}x=25$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$x=75$$

Substitúe x por 75 en y=-\frac{2}{3}x+25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 75.

$$y=-50+25$$

Suma 25 a -50.

$$y=-25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-25,x=75$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-25,x=75$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Para que 3y e y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

Simplifica.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

Resta 3y+3x=150 de 3y+2x=75 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-3x=75-150$$

Suma 2x a -3x.

$$-x=75-150$$

Suma 75 a -150.

$$-x=-75$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=75$$

Substitúe x por 75 en y+x=50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+75=50$$

Resta 75 en ambos lados da ecuación.

$$y=-25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-25,x=75$$