Resolver {l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x-y=2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{2+y}{3} na outra ecuación, 2x+y-8=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

Multiplica 2 por \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

Suma \frac{2y}{3} a y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

Suma \frac{4}{3} a -8.

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

Suma \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4.

$$x=\frac{4+2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a \frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

Simplifica.

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

Resta 6x+3y-24=0 de 6x-2y-4=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-3y-4+24=0$$

Suma -2y a -3y.

$$-5y-4+24=0$$

Suma -4 a 24.

$$-5y+20=0$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-20$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 2x+y-8=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4-8=0$$

Suma 4 a -8.

$$2x-4=0$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$2x=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=4$$