Resolver {l}{3x-y=5}{y=7-x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 5 } \\ { y = 7 - x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=5,x+y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=5$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+5.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{5+y}{3} na outra ecuación, x+y=7.

$$\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}+y=7$$

Suma \frac{y}{3} a y.

$$\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}=7$$

Resta \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{4}{3}y=\frac{16}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a \frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=5,x+y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=5,x+y=7$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x-y=5,3x+3y=3\times 7$$

Simplifica.

$$3x-y=5,3x+3y=21$$

Resta 3x+3y=21 de 3x-y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-y-3y=5-21$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-3y=5-21$$

Suma -y a -3y.

$$-4y=5-21$$

Suma 5 a -21.

$$-4y=-16$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x+y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+4=7$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$