Resolver {l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y+2=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x-y=-2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y-2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2+y}{3} na outra ecuación, 5x-2y+1=0.

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

Multiplica 5 por \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

Suma \frac{5y}{3} a -2y.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

Suma -\frac{10}{3} a 1.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

Suma \frac{7}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por -7.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

Suma -\frac{2}{3} a -\frac{7}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

Simplifica.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

Resta 15x-6y+3=0 de 15x-5y+10=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y+6y+10-3=0$$

Suma -5y a 6y.

$$y+10-3=0$$

Suma 10 a -3.

$$y+7=0$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en 5x-2y+1=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

Multiplica -2 por -7.

$$5x+14+1=0$$

Suma 14 a 1.

$$5x+15=0$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-7$$