Resolver {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x-9-y=0$$

Engadir 9 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x-y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$9y+3-x=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$9y-x=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=9$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+9.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

Substitúe x por \frac{y}{3}+3 na outra ecuación, -x+9y=-3.

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

Multiplica -1 por \frac{y}{3}+3.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

Suma -\frac{y}{3} a 9y.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{26}{3}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{26}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{1}{3}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x-9-y=0$$

Engadir 9 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x-y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$9y+3-x=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$9y-x=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x-9-y=0$$

Engadir 9 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x-y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$9y+3-x=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$9y-x=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Para que 3x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

Resta -3x+27y=-9 de -3x+y=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-27y=-9+9$$

Suma y a -27y.

$$-26y=-9+9$$

Suma -9 a 9.

$$-26y=0$$

Divide ambos lados entre -26.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en -x+9y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x=-3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=0$$