Resolver {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-5y=-6$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=5y-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 5y-6.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

Substitúe x por \frac{5y}{3}-2 na outra ecuación, 2x-3y=-5.

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

Multiplica 2 por \frac{5y}{3}-2.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

Suma \frac{10y}{3} a -3y.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=\frac{5}{3}y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

Multiplica \frac{5}{3} por -3.

$$x=-5-2$$

Suma -2 a -5.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-7,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

Resta 6x-9y=-15 de 6x-10y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y+9y=-12+15$$

Suma -10y a 9y.

$$-y=-12+15$$

Suma -12 a 15.

$$-y=3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 2x-3y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

Multiplica -3 por -3.

$$2x+9=-5$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=-3$$