Resolver {l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-5y=-18$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=5y-18$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 5y-18.

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

Substitúe x por \frac{5y}{3}-6 na outra ecuación, 3x-2y=9.

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

Multiplica 3 por \frac{5y}{3}-6.

$$5y-18-2y=9$$

Suma 5y a -2y.

$$3y-18=9$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$3y=27$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=\frac{5}{3}y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

Multiplica \frac{5}{3} por 9.

$$x=15-6$$

Suma -6 a 15.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Resta 3x-2y=9 de 3x-5y=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y+2y=-18-9$$

Suma -5y a 2y.

$$-3y=-18-9$$

Suma -18 a -9.

$$-3y=-27$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en 3x-2y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times 9=9$$

Multiplica -2 por 9.

$$3x-18=9$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$3x=27$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=9$$