Resolver {l}{3x-4y=16}{2x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 16 } \\ { 2 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-4y=16$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=4y+16$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+16\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 16+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

Substitúe x por \frac{16+4y}{3} na outra ecuación, 2x-3y=10.

$$2\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=10$$

Multiplica 2 por \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{32}{3}-3y=10$$

Suma \frac{8y}{3} a -3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{32}{3}=10$$

Resta \frac{32}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{3}\times 2+\frac{16}{3}$$

Multiplica \frac{4}{3} por 2.

$$x=\frac{8+16}{3}$$

Suma \frac{16}{3} a \frac{8}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-4\times 10\\2\times 16-3\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 16,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10$$

Simplifica.

$$6x-8y=32,6x-9y=30$$

Resta 6x-9y=30 de 6x-8y=32 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-8y+9y=32-30$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y+9y=32-30$$

Suma -8y a 9y.

$$y=32-30$$

Suma 32 a -30.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x-3y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\times 2=10$$

Multiplica -3 por 2.

$$2x-6=10$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$2x=16$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=2$$