Resolver {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-3y=2$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$3x=3y+2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 3y+2.

$$x=y+\frac{2}{3}$$

Substitúe x por y+\frac{2}{3} na outra ecuación, 4x+7y=-3.

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

Multiplica 4 por y+\frac{2}{3}.

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

Suma 4y a 7y.

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

Resta \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$11y=-\frac{17}{3}$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=-\frac{17}{33}$$

Substitúe y por -\frac{17}{33} en x=y+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a -\frac{17}{33} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{33}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

Resta 12x+21y=-9 de 12x-12y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-21y=8+9$$

Suma -12y a -21y.

$$-33y=8+9$$

Suma 8 a 9.

$$-33y=17$$

Divide ambos lados entre -33.

$$y=-\frac{17}{33}$$

Substitúe y por -\frac{17}{33} en 4x+7y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

Multiplica 7 por -\frac{17}{33}.

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

Suma \frac{119}{33} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{20}{33}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{5}{33}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$