Resolver {l}{3x-2y=6}{x/3-y/6=1/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=6$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Substitúe x por \frac{2y}{3}+2 na outra ecuación, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)-y=3$$

Multiplica 2 por \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4-y=3$$

Suma \frac{4y}{3} a -y.

$$\frac{1}{3}y+4=3$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=\frac{2}{3}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\left(-3\right)+2$$

Multiplica \frac{2}{3} por -3.

$$x=-2+2$$

Suma 2 a -2.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 3\\-2\times 6+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

Simplifica.

$$6x-4y=12,6x-3y=9$$

Resta 6x-3y=9 de 6x-4y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-4y+3y=12-9$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+3y=12-9$$

Suma -4y a 3y.

$$-y=12-9$$

Suma 12 a -9.

$$-y=3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 2x-y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-\left(-3\right)=3$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$2x=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$