Resolver {l}{3x-2y=5}{2x-3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { 2 x - 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=5$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{2y+5}{3} na outra ecuación, 2x-3y=15.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=15$$

Multiplica 2 por \frac{2y+5}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=15$$

Suma \frac{4y}{3} a -3y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=15$$

Resta \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{5}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por -7.

$$x=\frac{-14+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a -\frac{14}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15$$

Simplifica.

$$6x-4y=10,6x-9y=45$$

Resta 6x-9y=45 de 6x-4y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-4y+9y=10-45$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+9y=10-45$$

Suma -4y a 9y.

$$5y=10-45$$

Suma 10 a -45.

$$5y=-35$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en 2x-3y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\left(-7\right)=15$$

Multiplica -3 por -7.

$$2x+21=15$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-7$$