Resolver {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=5$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{2y+5}{3} na outra ecuación, -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

Multiplica -1 por \frac{2y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

Suma -\frac{2y}{3} a 2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

Suma -\frac{5}{3} a -5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

Suma \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{47}{4}$$

Substitúe y por \frac{47}{4} en x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por \frac{47}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a \frac{47}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{19}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Para que 3x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

Simplifica.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

Resta -3x+6y-15=27 de -3x+2y=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-6y+15=-5-27$$

Suma 2y a -6y.

$$-4y+15=-5-27$$

Suma -5 a -27.

$$-4y+15=-32$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-47$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=\frac{47}{4}$$

Substitúe y por \frac{47}{4} en -x+2y-5=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

Multiplica 2 por \frac{47}{4}.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

Suma \frac{47}{2} a -5.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

Resta \frac{37}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=\frac{19}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$