Resolver {l}{3x-2y=20}{5x+8y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 20 } \\ { 5 x + 8 y = 22 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=20$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+20$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+20\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 20+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}$$

Substitúe x por \frac{20+2y}{3} na outra ecuación, 5x+8y=22.

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}\right)+8y=22$$

Multiplica 5 por \frac{20+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}+8y=22$$

Suma \frac{10y}{3} a 8y.

$$\frac{34}{3}y+\frac{100}{3}=22$$

Resta \frac{100}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{34}{3}y=-\frac{34}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{34}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{20}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por -1.

$$x=\frac{-2+20}{3}$$

Suma \frac{20}{3} a -\frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 20+\frac{1}{17}\times 22\\-\frac{5}{34}\times 20+\frac{3}{34}\times 22\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 20,3\times 5x+3\times 8y=3\times 22$$

Simplifica.

$$15x-10y=100,15x+24y=66$$

Resta 15x+24y=66 de 15x-10y=100 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-10y-24y=100-66$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y-24y=100-66$$

Suma -10y a -24y.

$$-34y=100-66$$

Suma 100 a -66.

$$-34y=34$$

Divide ambos lados entre -34.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 5x+8y=22. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+8\left(-1\right)=22$$

Multiplica 8 por -1.

$$5x-8=22$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$5x=30$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-1$$