Resolver {l}{3x-2y=0}{4x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 0 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=0$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

Substitúe x por \frac{2y}{3} na outra ecuación, 4x+y=5.

$$4\times \frac{2}{3}y+y=5$$

Multiplica 4 por \frac{2y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+y=5$$

Suma \frac{8y}{3} a y.

$$\frac{11}{3}y=5$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{15}{11}$$

Substitúe y por \frac{15}{11} en x=\frac{2}{3}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}$$

Multiplica \frac{2}{3} por \frac{15}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{10}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 5\\\frac{3}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y=0,3\times 4x+3y=3\times 5$$

Simplifica.

$$12x-8y=0,12x+3y=15$$

Resta 12x+3y=15 de 12x-8y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-8y-3y=-15$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-3y=-15$$

Suma -8y a -3y.

$$-11y=-15$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=\frac{15}{11}$$

Substitúe y por \frac{15}{11} en 4x+y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+\frac{15}{11}=5$$

Resta \frac{15}{11} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{40}{11}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{10}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$