Resolver {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$3x-2y=-3$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Substitúe x por \frac{2y}{3}-1 na outra ecuación, 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

Multiplica 4 por \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

Suma \frac{8y}{3} a 3y.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

Suma -4 a -47.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

Suma 51 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{17}{3}y=51$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{17}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=\frac{2}{3}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

Multiplica \frac{2}{3} por 9.

$$x=6-1$$

Suma -1 a 6.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

Simplifica.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

Resta 12x+9y-141=0 de 12x-8y+12=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-9y+12+141=0$$

Suma -8y a -9y.

$$-17y+12+141=0$$

Suma 12 a 141.

$$-17y+153=0$$

Resta 153 en ambos lados da ecuación.

$$-17y=-153$$

Divide ambos lados entre -17.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en 4x+3y-47=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\times 9-47=0$$

Multiplica 3 por 9.

$$4x+27-47=0$$

Suma 27 a -47.

$$4x-20=0$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$4x=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=9$$