Resolver {l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$3x-13+y=0$$

Engadir 13 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x+y=13$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=13$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+13$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+13.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+13}{3} na outra ecuación, 2x+9y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

Multiplica 2 por \frac{-y+13}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

Suma -\frac{2y}{3} a 9y.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

Resta \frac{26}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{25}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -2.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

Suma \frac{13}{3} a \frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$3x-13+y=0$$

Engadir 13 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x+y=13$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$3x-13+y=0$$

Engadir 13 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x+y=13$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

Simplifica.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

Resta 6x+27y=-24 de 6x+2y=26 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-27y=26+24$$

Suma 2y a -27y.

$$-25y=26+24$$

Suma 26 a 24.

$$-25y=50$$

Divide ambos lados entre -25.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 2x+9y=-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

Multiplica 9 por -2.

$$2x-18=-8$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$2x=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-2$$