Resolver {l}{3x+y=9}{2x-3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 9 } \\ { 2 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Substitúe x por -\frac{y}{3}+3 na outra ecuación, 2x-3y=6.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-3y=6$$

Multiplica 2 por -\frac{y}{3}+3.

$$-\frac{2}{3}y+6-3y=6$$

Suma -\frac{2y}{3} a -3y.

$$-\frac{11}{3}y+6=6$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{3}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{1}{3}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 9+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{2}{11}\times 9-\frac{3}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Simplifica.

$$6x+2y=18,6x-9y=18$$

Resta 6x-9y=18 de 6x+2y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+2y+9y=18-18$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+9y=18-18$$

Suma 2y a 9y.

$$11y=18-18$$

Suma 18 a -18.

$$11y=0$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 2x-3y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x=6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=0$$