Resolver {l}{3x+y=5}{7x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 7 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{3} na outra ecuación, 7x+y=6.

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=6$$

Multiplica 7 por \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{35}{3}+y=6$$

Suma -\frac{7y}{3} a y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{35}{3}=6$$

Resta \frac{35}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{17}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{17}{4}$$

Substitúe y por \frac{17}{4} en x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{4}+\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por \frac{17}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a -\frac{17}{12} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{3}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Resta 7x+y=6 de 3x+y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-7x+y-y=5-6$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-7x=5-6$$

Suma 3x a -7x.

$$-4x=5-6$$

Suma 5 a -6.

$$-4x=-1$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{1}{4} en 7x+y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$7\times \frac{1}{4}+y=6$$

Multiplica 7 por \frac{1}{4}.

$$\frac{7}{4}+y=6$$

Resta \frac{7}{4} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{17}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$