Resolver {l}{3x+y=5}{4x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{3} na outra ecuación, 4x-y=2.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=2$$

Multiplica 4 por \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}-y=2$$

Suma -\frac{4y}{3} a -y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{20}{3}=2$$

Resta \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 2.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a -\frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{1}{7}\times 2\\\frac{4}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4y=4\times 5,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

Simplifica.

$$12x+4y=20,12x-3y=6$$

Resta 12x-3y=6 de 12x+4y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+4y+3y=20-6$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+3y=20-6$$

Suma 4y a 3y.

$$7y=20-6$$

Suma 20 a -6.

$$7y=14$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 4x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-2=2$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$4x=4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$