Resolver {l}{3x+y=5}{2x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=20$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{3} na outra ecuación, 2x+y=10.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

Multiplica 2 por \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

Suma -\frac{2y}{3} a y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Resta \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=20$$

Substitúe y por 20 en x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 20.

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a -\frac{20}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=20$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=20$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Resta 2x+y=10 de 3x+y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-2x+y-y=5-10$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-2x=5-10$$

Suma 3x a -2x.

$$x=5-10$$

Suma 5 a -10.

$$x=-5$$

Substitúe x por -5 en 2x+y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\left(-5\right)+y=10$$

Multiplica 2 por -5.

$$-10+y=10$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$y=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=20$$