Resolver {l}{3x+y=-3}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = - 3 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=-3,x+y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=-3$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y-3.

$$x=-\frac{1}{3}y-1$$

Substitúe x por -\frac{y}{3}-1 na outra ecuación, x+y=1.

$$-\frac{1}{3}y-1+y=1$$

Suma -\frac{y}{3} a y.

$$\frac{2}{3}y-1=1$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{3}y=2$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{1}{3}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3-1$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 3.

$$x=-1-1$$

Suma -1 a -1.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=-3,x+y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=-3,x+y=1$$

Resta x+y=1 de 3x+y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-x+y-y=-3-1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-x=-3-1$$

Suma 3x a -x.

$$2x=-3-1$$

Suma -3 a -1.

$$2x=-4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en x+y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-2+y=1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$