Resolver {l}{3x+8y=15}{2x-8y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 8 y = 15 } \\ { 2 x - 8 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+8y=15$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-8y+15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y+15\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -8y+15.

$$x=-\frac{8}{3}y+5$$

Substitúe x por -\frac{8y}{3}+5 na outra ecuación, 2x-8y=10.

$$2\left(-\frac{8}{3}y+5\right)-8y=10$$

Multiplica 2 por -\frac{8y}{3}+5.

$$-\frac{16}{3}y+10-8y=10$$

Suma -\frac{16y}{3} a -8y.

$$-\frac{40}{3}y+10=10$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{40}{3}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{40}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{8}{3}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-8\times 2}&-\frac{8}{3\left(-8\right)-8\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-8\times 2}&\frac{3}{3\left(-8\right)-8\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{20}&-\frac{3}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{20}\times 15-\frac{3}{40}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 8y=2\times 15,3\times 2x+3\left(-8\right)y=3\times 10$$

Simplifica.

$$6x+16y=30,6x-24y=30$$

Resta 6x-24y=30 de 6x+16y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+16y+24y=30-30$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16y+24y=30-30$$

Suma 16y a 24y.

$$40y=30-30$$

Suma 30 a -30.

$$40y=0$$

Divide ambos lados entre 40.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 2x-8y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=0$$